마방진(魔方陣) 숫자의 비밀

마방진(魔方陣) 그 신비한 이름, 숫자의 비밀을 풀어보자

마방진에서 ‘방’자는 사각형을 의미하고, ‘진’자는 줄을 지어 늘어선다는 뜻이다.

마방진이란 정사각형에 1부터 숫자를 중복하거나 빠뜨리지 않고 적어, 가로, 세로, 대각선에 있는 수들의 합이 모두 같도록 만든 숫자의 배열을 의미한다.

 

3×3 마방진은 1부터 9까지의 숫자를 중복하지 않고 모두 사용하여 가로, 세로, 대각선의 합이 15가 되도록 정사각형 안에 배열해 놓은 것이다.

 

4	9	2
3	5	7
8	1	6

 

중국의 마방진은 《산법통종》, 《양휘산법》, 《천학초함》이라는 수학책을 통해 우리나라에도 전해졌는데, 이를 연구한 대표적인 학자는 최석정이다.

 

최석정은 조선 숙종 때 영의정까지 지낸 양반의 신분이었지만 어려서부터 접한 청나라 문화의 영향으로 다른 양반들과는 달리 생활에 도움을 줄 수 있는 학문에 관심을 가졌다.

세계적 수준 이르렀던 조선시대 수학자들

http://blog.daum.net/yescheers/8598913

(최석정 : 崔錫鼎, 1646~1715) 

  구수략에 소개된 ‘지수귀문도’

 

특히 수학에 많은 관심을 가지고 《구수략》이라는 책을 저술했는데, 여기에는 3차부터 10차 마방진까지의 독창적인 마방진에 대한 해법이 제시되어 있고, 거북무늬 그림이라는 뜻의 ‘지수귀문도’라는 새로운 마방진까지 제시되어 있다.

 

최석정이 마방진을 통해 얻고자 한 것은 그 속에 숨어 있는 자연의 질서와 이치를 깨닫고자 한 것인데, 마방진 속의 수들이 완전한 대칭을 이루고 안정된 모습으로 배열된 것에서 자연이 균형을 이루며 만물이 움직이는 원리와 같다고 생각했다.

 

우리가 배우는 수학은 중국이나 서양의 것을 받아들이는 경우가 많은데 마방진 연구에 있어서는 세계에서도 인정하는 수학자가 우리나라에 있다.

 

마방진은 누가 처음으로 만들었는지는 정확하게 알 수는 없는데 중국 하나라 우왕 때 유래된 다음의 이야기부터 시작한다고 전해지고 있다.

 

장마철마다 ‘낙수’라는 강의 범람을 막기 위해 제방을 쌓는 공사를 했는데 이때 등에 어떤 무늬가 새겨진 거북이 한 마리가 나타났는데 거북의 등에 공사방법을 알려주는 그림이 새겨져 있었다.

 

사람들은 이 그림을 ‘낙서(洛書)’라고 불렀고 이는 후에 명당을 정하거나 건축물의 배치 등 풍수지리에 매우 중요하게 사용하였다.

때로는 인간사의 길흉화복을 점치는 도구로도 사용하기도 했는데 이 거북의 등에 새겨진 45개의 점의 배치도가 마방진의 시작이라고 할 수 있다.

멜랑콜리아의 4차 마방진을 만드는 방법은 다음과 같다.

 

    

  

➊ 양쪽 대각선(X자)이 지나는 칸 8개에 다음 규칙에 따라 수를 넣는다. 4행(맨 아랫줄)부터 시작해 각 행을 화살표 방향으로 순서대로 훑으면서 대각선이 지나는 칸에 1~16까지 중 순서에 해당하는 숫자를 넣는다.

 

    

  

➋ 이번에는 1행부터 시작해 각 행을 화살표 방향으로 순서대로 훑으면서 남은 8개의 칸에 해당하는 숫자를 넣는다.

 

➌ 앞의 ➊과 ➋의 결과를 결합시킨다.

 

 

멜랑콜리아의 4차 마방진은 댄 브라운의 소설 ‘로스트 심벌’에 등장한다. 주인공인 하버드대 기호학 교수 로버트 랭던은 피라미드의 암호와 관련해 ‘1514 A.D.’라는 정보를 알아낸다. 처음에 는 연도라고 생각했지만, A.D.는 알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer)의 약자고 1514는 그의 작품 ‘멜랑콜리아’를 의미한다는 것을 파악한다.

 

랭던은 곧바로 피라미드에서 해독한 알파벳 배열과 4차 마방진을 결합한다. 1은 4행 4열에 있으므로 알파벳 배열에서 4행 4열에 있는 J를 가장 먼저 쓴다. 2는 1행 3열에 있으므로 1행 3열에 있는 E를 뒤이어 쓴다. 이 과정을 반복하면 ‘JEOVA SANCTUS UNUS’가 되는데, 이는 라틴어로 ‘하나의 참된 신’이라는 의미다.

라틴방진

 

마방진과 약간 다르게, 정사각형 안에 n개의 서로 다른 숫자를 각 행과 열에 꼭 한 번씩만 들어가도록 배열한 것을 n차 ‘라틴방진’이라고 한다.

스도쿠’는 라틴방진의 특수한 예로, 9×9 정사각형 가로와 세로에 1부터 9까지 수를 겹치지 않게 적어 넣는 게임이다. 여기에 한 가지 조건이 더 추가돼 가로와 세로 3칸으로 이루어진 9개의 작은 정사각형 안에도 1부터 9까지의 수가 중복되지 않아야 한다.

 

n차 라틴방진 두 개를 겹쳐 (1, 1)부터 (n, n)까지 n2개의 숫자쌍이 한 번씩만 들어가게 배열한 것은 n차 ‘직교라틴방진’이라고 한다. 예를 들어, 다음과 같이 3차 라틴방진에 또 다른 3차 라틴방진을 겹치면, 9개의 칸에는 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)이 한 번씩만 들어간다. 즉, 두 개의 3차 라틴방진을 결합해 3차 직교라틴방진을 만든 것이다.

옛날 사람들은 3차 마방진은 토성, 4차 마방진은 목성, 5차 마방진은 화성, 6차 마방진은 태양, 7차 마방진은 금성, 8차 마방진은 수성, 9차 마방진은 달과 연결시켰다.

9차 마방진

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벌집 마방진 (멘사코리아 논리 퍼즐)

 

1~24까지의 숫자로 아래 빈 동그라미를 채우려고 한다.

그림에서 육각형을 이루는 숫자 6개의 합이 모두 75가 되어야 한다.

이 문제를 풀 자신만의 방법을 찾기 어렵다면

아래 벌집 마방진 가이드를 차근차근 따라 해보자.

동그라미에 숫자를 어떻게 넣어야 할까?

 

<멘사코리아 논리 퍼즐> 41번 문제

 

│ 벌집 마방진 가이드│

1. 둘레에 있는 육각형(6개)에 들어갈 숫자 6개를 2개씩 짝 짓는다.

 

2. 각 육각형에서 다른 육각형과 맞닿은 숫자 4개를 연결된 숫자 2개씩 짝을 지어 그룹 A와 그룹 B로 나누면 나머지 숫자 2개는 그룹 C가 된다. 그런 다음 그림을 보면 그룹 A와 B는 각 3개, 그룹 C는 6개가 된다.

 

3. 이때 가운데 육각형을 제외한 각 육각형의 그룹 A의 합, B의 합, C의 합이 같아야 한다.

• 육각형의 숫자 6개를 그룹 A, B, C로 나누었으므로, 한 육각형에 적힌 숫자의 합인 그룹 A+그룹 B+그룹 C의 합이 75이어야 한다.

 

4. 1~24까지의 숫자로 그룹을 세 개로 나눈 다음 규칙에 맞게 숫자를 넣어본다.

 

5. 규칙에 따라 숫자들을 모두 배치했다면 가운데를 제외한 육각형들의 합은 모두 75일 것이다. 이제 가운데 육각형도 합이 75가 되도록 숫자들의 위치를 조정한다.

• 한 육각형에서 같은 그룹끼리 숫자를 맞바꾸어야 다른 육각형들의 합에 영향을 주지 않는다.

 

*아래에 해답이 있습니다.

 

 

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해답

 

각 육각형에 적힌 숫자의 합이 같으려면 특정 값을 기준으로 대칭이 되는 숫자들로 배열해야 한다. 1~24 중에서 숫자 2개를 더해 25가 되는 숫자들을 찾아 그룹 A, B에 각 6개, 그룹 C에 12개로 나눈다.

 

그룹 A(흰색): 7, 8, 9, 16, 17, 18

그룹 B(회색): 10, 11, 12, 13, 14, 15

그룹 C(검은색): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 21, 22, 23, 24

 

각 그룹에서 합이 25가 되는 두 숫자를 선택해 그림에서 적절한 위치에 넣느다. 둘레의 육각형을 이루는 동그라미에 숫자를 모두 넣은 다음에 가운데 육각형을 이루는 동그라미에 숫자를 채우면 된다.